求bs期权定价公式的推导(求bs期权定价公式的推导是什么)

布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价公式，是金融工程领域一块里程碑式的成就，彻底改变了金融市场对期权等衍生品进行估值和风险管理的方式。在它诞生之前，期权定价更像是一门艺术而非科学，充满了直觉和经验判断。费舍尔·布莱克（Fischer Black）、迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert Merton，后者因拓展了BS模型理论而获奖）三人通过严谨的数学推导，提供了一个理性、系统化的定价框架。这个公式不仅为期权交易提供了科学依据，也为后续更复杂的金融衍生品定价模型奠定了基础。理解其推导过程，不仅是对历史的回顾，更是深入掌握其核心思想和适用范围的关键。将深入探讨布莱克-斯科尔斯期权定价公式的推导过程，揭示其背后的数学逻辑和经济学原理。

前提假设与随机漫步：构建模型基础

布莱克-斯科尔斯模型并非空中楼阁，其推导建立在一些关键的简化假设之上。这些假设旨在抽象掉现实世界中的复杂性，以便于构建一个可解的数学模型。核心假设包括：市场是有效的，不存在套利机会；股票价格遵循几何布朗运动（Geometric Brownian Motion），即其对数收益服从正态分布，且波动率（通常用标准差表示）在期权有效期内保持恒定；无风险利率也是恒定不变的；期权是欧式期权，只能在到期日行权；不存在交易成本和税收；股票在期权存续期内不派发股息，或者股息是连续且已知的。其中，股票价格遵循几何布朗运动是最为核心的数学假设，它描述了股票价格随时间变化的随机路径。用随机微分方程表示为：dS = μSdt + σSdW，其中 S 是股票价格，μ 是股票预期收益率，σ 是股票波动率，dt 是时间微元，而 dW 是维纳过程（或布朗运动）的增量，代表随机扰动项。这一假设决定了期权价格也将是一个随时间变化的随机过程。

无套利原则与风险中性定价

在布莱克-斯科尔斯模型的推导中，“无套利原则”扮演着基石性的角色。它指出，在有效市场中，不可能在不承担任何风险的情况下获得确定的、超额的收益。正是基于这一原则，布莱克和斯科尔斯构思了一个“风险对冲组合”：一个由期权和标的股票组成的投资组合，其风险（即随机项）可以被完全消除。具体做法是，买入一个单位的期权，同时卖出（或买入）Δ 份（其中Δ = ∂C/∂S，即期权价格对股票价格的一阶导数，被称为Delta值）标的股票。如果这个组合是无风险的，那么根据无套利原则，这个无风险组合在极短的时间内所带来的收益率必须等于无风险利率。这意味着我们可以将期权定价问题转化为一个在“风险中性世界”中的定价问题。在风险中性世界中，所有资产的预期收益率都等于无风险利率，投资者对风险没有偏好。期权的价格就是其未来预期收益在风险中性概率测度下，按无风险利率折现的现值。这一转换极大地简化了期权定价，因为它使得我们无需考虑投资者具体的风险偏好，只需关注风险中性下期望的现金流。

伊藤引理与偏微分方程的构建

要构建风险对冲组合并应用无套利原则，我们需要知道期权价格是如何随股票价格和时间变化的，这需要借助强大的数学工具——伊藤引理（Itô's Lemma）。期权价格 C 是股票价格 S 和时间 t 的函数，即 C(S, t)。根据伊藤引理，期权价格随时间微小变化的随机微分方程为：dC = (∂C/∂t + μS∂C/∂S + 1/2σ²S²∂²C/∂S²)dt + σS(∂C/∂S)dW。现在，我们构建一个动态的风险对冲组合 Π，由一份期权和 -Δ 份标的股票组成（负号表示卖空，Δ 为期权价格对股票价格的一阶偏导数，即 ∂C/∂S）：Π = C - (∂C/∂S)S。这个组合的价值变化 dΠ 可以通过对 Π 求微分得到。神奇之处在于，当我们将 dC 和 dS 代入 dΠ 的表达式中时，所有包含随机项 dW 的部分都会相互抵消，使得 dΠ 成为一个完全确定性的过程。这个无风险的组合在极短的时间 dt 内所获得的收益必须等于无风险利率 r 乘以组合价值 Π，即 dΠ = rΠdt。将通过伊藤引理获得的 dΠ 表达式与 rΠdt 相等，并进行代入和化简，最终我们可以推导得到著名的布莱克-斯科尔斯偏微分方程：∂C/∂t + rS∂C/∂S + 1/2σ²S²∂²C/∂S² - rC = 0。这个方程是布莱克-斯科尔斯公式的核心，描述了在无套利条件下期权价格必须满足的条件。

求解偏微分方程与公式的诞生

布莱克-斯科尔斯偏微分方程是一个二阶线性偏微分方程，它的解就是期权的价格函数。要解这个方程，我们还需要提供适当的边界条件。对于一个欧式看涨期权（Call Option）而言，其到期日的边界条件是 C(S, T) = max(S - K, 0)，其中 T 是到期日，K 是行权价格。这意味着在到期日，期权的价值要么是股票价格减去行权价格，要么是零（如果股票价格低于行权价格）。求解这个带有特定边界条件的偏微分方程是一个复杂的数学过程，通常可以采用变量替换（例如将股票价格 S 转换为其对数 ln(S)），将偏微分方程转化为一个“热传导方程”，而热传导方程的解是已知的。经过一系列复杂的数学推导和积分运算，最终可以得到我们熟知的布莱克-斯科尔斯看涨期权定价公式：C = S N(d1) - K e^(-rT) N(d2)。其中，N(.) 是标准正态分布的累积概率分布函数，d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)，d2 = d1 - σ√T。对于欧式看跌期权（Put Option），可以利用看跌-看涨平价关系（Put-Call Parity）或者直接求解偏微分方程得到其定价公式：P = K e^(-rT) N(-d2) - S N(-d1)。这些公式中的每一个变量都承载着重要的经济学或金融学含义，例如 S 是当前股票价格，K 是行权价格，r 是无风险利率，T 是距离到期的时间（以年为单位），而 σ 则是股票价格的波动率。这些变量共同决定了期权的合理价格。

布莱克-斯科尔斯期权定价公式的推导，是金融数学史上的一个光辉篇章。它将经济学中的无套利原则、数学中的随机过程理论和偏微分方程紧密结合，构建了一个优雅而强大的工具。尽管其建立在一些理想化的假设之上，现实世界可能更为复杂（例如波动率并非恒定、存在交易成本等），但其核心思想和模型框架为后来的金融创新和衍生品定价理论奠定了坚实的基础。布莱克-斯科尔斯模型不仅帮助市场参与者更好地理解和管理风险，也促进了金融市场的效率和透明度，其深远影响至今仍在延续。