bs期权定价模型(bs期权定价模型推导过程)

布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes，简称BS）期权定价模型，是金融工程学发展史上的一个里程碑，诺贝尔经济学奖的获得者罗伯特·默顿和迈伦·斯科尔斯因其在期权定价方面的杰出贡献而获此殊荣。该模型提供了一种在特定假设下对欧式期权（只能在到期日行权的期权）进行合理定价的数学框架。理解其推导过程，不仅有助于掌握模型的内在逻辑，更能深刻体会现代金融理论中风险对冲与无套利原理的精髓。将深入探讨BS模型的推导过程，揭示其从基本假设到复杂公式的演进路径。

模型基础与核心假设

BS模型得以建立，离不开一系列简化市场的假设。这些假设虽然在现实中难以完全满足，但为模型的数学推导提供了必要的基础，并使得期权定价问题变得可分析。理解这些假设是理解模型推导的第一步：

• 股票价格服从几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）：这是最核心的假设。它认为股票价格的对数收益率服从正态分布，且股价在连续时间内随机游走，其变化率与股价自身成正比，即股价变动是随机的、连续的，并且波动率和漂移率恒定。数学上表示为 dS = μS dt + σS dW_t，其中 S 是股价，μ 是期望收益率（漂移率），σ 是波动率，dW_t 是维纳过程（随机项）。
• 无风险利率恒定：市场中存在一个在整个期权有效期内保持不变的无风险利率 r，投资者可以以该利率无限量地借贷。
• 波动率恒定：底层资产的波动率 σ 在期权有效期内保持恒定。
• 无交易成本与税收：在买卖股票和期权时，不产生任何交易费用或税收。
• 资产可无限分割：股票和期权都可以进行任意小的买卖，即可以买卖非整数单位的股票。
• 无套利机会：市场是有效的，不存在可以无风险地获取利润的机会。
• 欧式期权：期权只能在到期日行权。
• 无股息：在期权有效期内，标的股票不支付股息（对于支付连续股息的情况可进行修正）。

随机过程与伊藤引理

在金融市场中，资产价格的变动往往包含随机性，传统的微积分无法直接处理这种随机过程。为了描述股票价格的随机性并进而推导期权价格的变动，我们需要引入随机微积分的概念，特别是伊藤引理（Ito's Lemma）。

根据上述假设，股票价格 S 遵循几何布朗运动：dS = μS dt + σS dW_t。

期权价格 C 是关于股票价格 S 和时间 t 的函数，即 C = C(S, t)。由于 S 是一个随机变量，C 也是一个随机过程。为了探究期权价格 C 的微小变化 dC，我们需要使用伊藤引理。伊藤引理是随机微积分中的一个基本工具，它类似于链式法则，但不包括二阶导数项。对于一个函数 f(X_t, t)，如果 X_t 遵循 `dX_t = a(X_t, t)dt + b(X_t, t)dW_t`，那么伊藤引理告诉我们：

dC = (∂C/∂t + μS ∂C/∂S + 1/2 σ² S² ∂²C/∂S²) dt + σS ∂C/∂S dW_t

这个公式揭示了期权价格的动态变化，其中包含了时间流逝项 (∂C/∂t)、股票价格变化引起的确定性项 (μS ∂C/∂S) 和随机波动项 (1/2 σ² S² ∂²C/∂S² + σS ∂C/∂S dW_t)。伊藤引理是连接股票价格随机变动与期权价格随机变动的桥梁，为后续的无套利组合构建奠定了数学基础。

无套利原理与套期保值组合

BS模型的核心洞见在于，可以通过构建一个风险中性的投资组合来消除随机性，从而依据无套利原理确定期权价格。这个过程被称为“套期保值”（Hedging）或“复制”（Replication）。

我们构建一个投资组合 Π，该组合由一份卖出的欧式看涨期权 C 和 Δ 份买入的标的股票 S 组成。这里的 Δ（delta）是期权价格对标的股票价格的一阶导数，即 Δ = ∂C/∂S。组合的价值为：

Π = ΔS - C

选择买入 Δ 份股票并卖出 1 份期权（或反之）的目的是为了利用 Δ 对冲掉股票价格的随机波动。当股票价格发生随机变动时，期权价格也会随之变动，而这个组合的价值变动将不包含随机项。

对组合价值 Π 进行微分，得到 dΠ：

dΠ = Δ dS - dC

将 dS 和 dC 的伊藤引理展开式代入 dΠ：

dΠ = Δ (μS dt + σS dW_t) - [(∂C/∂t + μS ∂C/∂S + 1/2 σ² S² ∂²C/∂S²) dt + σS ∂C/∂S dW_t]

整理后，我们将发现 `σS dW_t` 项（随机项）将被有效地抵消：

dΠ = [ΔμS - (