有收益欧式期权平价定理(欧式期权平价公式推导)

期权平价定理（Put-Call Parity）是一个金融学中非常重要的概念，它描述了欧式看涨期权、欧式看跌期权、标的资产以及无风险利率之间的理论关系。这个定理可以用来识别市场上的套利机会，并帮助投资者建立更有效的交易策略。对于具有收益的欧式期权来说，由于股息或其他收入的影响，平价公式需要进行调整。将详细阐述带有收益的欧式期权平价公式的推导及其背后的逻辑。

基本概念回顾

在深入探讨有收益欧式期权平价公式之前，我们先快速回顾一些基本概念：

• 欧式期权： 只能在到期日执行的期权。
• 看涨期权 (Call Option)： 赋予持有人在到期日以约定价格（行权价）购买标的资产的权利。
• 看跌期权 (Put Option)： 赋予持有人在到期日以约定价格（行权价）出售标的资产的权利。
• 标的资产： 期权合约的基础，例如股票、指数、商品等。
• 行权价 (Strike Price)： 期权合约中约定的买卖价格。
• 到期日 (Expiration Date)： 期权合约的有效期截止日期。
• 无风险利率 (Risk-Free Rate)： 理论上没有违约风险的投资回报率，通常以国债利率作为近似。
• 股息收益率或连续股息率： 标的资产在期权存续期间产生的现金流回报，例如股票的股息。股息收益率是股息支付总额与股票价格的比率，而连续股息率是在连续时间范围内股息收益率的近似。

无收益欧式期权平价公式

我们要回顾一下无收益欧式期权平价公式。该公式表示如下：

C + PV(K) = P + S

其中：

• C：看涨期权的价格
• P：看跌期权的价格
• K：行权价
• S：标的资产的当前价格
• PV(K)：行权价的现值，计算公式为 K e^(-rT)，其中 r 是无风险利率， T 是到期时间。

这个公式可以通过两种投资组合的策略来实现：

• 投资组合 1： 购买一个看涨期权（C），同时以无风险利率借入相当于行权价现值的资金（PV(K)）。
• 投资组合 2： 购买一个看跌期权（P），同时购买一股标的资产（S）。

在到期日，无论标的资产的价格如何，这两个投资组合的收益都是相同的。在当前，它们的成本也应该相同，这就是无收益欧式期权平价公式的核心思想。

有收益情景下的调整：引入股息

现在我们考虑有收益的情况，假设标的资产在期权到期前会派发股息。这会影响持有标的资产的收益，因此也会影响平价公式。关键在于标的资产价格需要进行调整，以反映派发股息所失去的那部分价值。

假设标的资产在期权到期前会派发股息，总的股息现值为 `PV(Div)`。在有股息的情况下，标的资产的有效成本就降低了。在这种情况下，我们需要对标的资产的价格进行调整，用 `S - PV(Div)` 来代替 `S`。这个调整反映了持有标的资产所能获得的股息收入的折现值。

有收益欧式期权平价公式的推导

考虑股息的影响，有收益欧式期权平价公式变为：

C + PV(K) = P + S - PV(Div)

也可以写成：

C - P = S - PV(Div) - PV(K)

其中：

• PV(Div)：股息的现值。如果股息以连续股息率 q 的形式给出，则 PV(Div) = S e^(-qT)

这个公式仍然可以通过两种投资组合的策略来进行理解和验证：

• 投资组合 1： 购买一个看涨期权（C），同时以无风险利率借入相当于行权价现值的资金（PV(K)）。
• 投资组合 2： 购买一个看跌期权（P），同时购买一股标的资产（S），但会收到 PV(Div) 的股息收入。

当期权到期时，如果S_T > K，则Call的价值为S_T - K，Put的价值为0，组合2的价值为 S_T; 组合1的价值也是 S_T - K + K = S_T

当期权到期时，如果S_T < K，则Call的价值为0，Put的价值为K-S_T，组合2的价值为 S_T + K - S_T = K; 组合1的价值也是 K.

在到期日，两个投资组合的收益仍然是风险对冲的，无论标的资产的价格如何，都有相同的收益。在当前，它们的成本也应该相同。

连续股息收益率下的平价公式

在现实世界中，公司可能以连续的方式支付股息，这意味着我们需要使用连续股息收益率来计算股息的现值。 使用连续股息收益率（`q`），`PV(Div) = S e^(-qT)`， 其中 `q` 是连续股息收益率，`T` 是到期时间。

有连续股息收益率的欧式期权平价公式为：

`C + K e^(-rT) = P + S e^(-qT)`

或者写作：

`C - P = S e^(-qT) - K e^(-rT)`

实际应用和注意事项

期权平价公式是一个重要的理论工具，但是在使用时需要注意以下几点：

欧式期权的限制： 平价公式只适用于欧式期权，不适用于美式期权，因为美式期权可以在到期日之前的任何时间执行。
交易成本： 实际交易中存在买卖价差、手续费等交易成本，这些成本可能会使套利机会消失。
市场流动性： 如果市场流动性不足，即使理论上存在套利机会，也可能难以执行。
市场假设： 平价公式基于一些理想化的假设，例如无摩擦市场、无风险利率恒定等。实际市场与这些假设存在偏差，因此套利机会短暂易逝。
股息估算： 对于股息支付，需要准确估算股息的支付金额和时间。

尽管存在这些限制，期权平价公式仍然是一个宝贵的工具，可以帮助投资者理解期权定价机制，识别潜在的套利机会，以及构建更有效的风险管理策略。