证明欧式看跌期权的上下限(欧式看跌期权价格上限)
欧式看跌期权赋予持有者在到期日以特定价格（行权价）出售标的资产的权利，但没有义务。理解欧式看跌期权的价格上下限对于期权定价、套利策略以及风险管理至关重要。期权价格的上下限能够帮助投资者判断市场价格是否合理，并识别潜在的套利机会。将详细探讨欧式看跌期权的价格上下限，并给出相应的证明。
欧式看跌期权价格的下限
欧式看跌期权的价格不可能低于零。这是显而易见的，因为持有看跌期权最多放弃行权，损失为零。如果期权价格为负，投资者可以免费获得期权，并获得收益，这显然是不可能的。看跌期权价格的下限为0。
更进一步，我们可以推导出更精确的下限。假设当前标的资产价格为S，行权价为K，到期时间为T，无风险利率为r。在到期日，看跌期权的价值为max(K - S_T, 0)，其中S_T是到期日标的资产的价格。看跌期权在到期日的最大价值是K，最小价值是0。这意味着看跌期权当前的价格不可能高于K的现值，否则存在套利机会。
考虑以下两种投资组合：
- 投资组合 A: 一个欧式看跌期权
- 投资组合 B: 以无风险利率r借入K的现值，即Ke^(-rT)
在到期日T，如果S_T > K，那么投资组合A的价值为0，投资组合B的价值为K - S_T < 0。如果S_T ≤ K，那么投资组合A的价值为K - S_T，投资组合B的价值为0。在任何情况下，投资组合A的价值都大于或等于投资组合B的价值。根据无套利原则，投资组合A的当前价值必须大于或等于投资组合B的当前价值。看跌期权的价格P ≥ max(0, Ke^(-rT) - S)。
欧式看跌期权价格的下限是max(0, Ke^(-rT) - S)。
欧式看跌期权价格的上限
欧式看跌期权的价格不可能高于行权价K。这是因为看跌期权赋予持有者以价格K出售标的资产的权利。无论标的资产价格如何，持有者都可以选择不行权，损失为零。看跌期权的最大价值是K，即标的资产价值跌至零时，持有者以K出售标的资产所获得的收益。
假设看跌期权的价格高于K，那么投资者可以卖空看跌期权，并立即获得高于K的收益。同时，投资者可以持有标的资产，并等待到期日。如果到期日标的资产价格低于K，看跌期权的买方会选择行权，投资者需要以K的价格买入标的资产，并交付给买方，损失为零。如果到期日标的资产价格高于K，看跌期权买方不会选择行权，投资者可以保留标的资产，并获得收益。无论如何，投资者都可以获得收益，这违反了无套利原则。看跌期权的价格不可能高于K。
欧式看跌期权价格的上限是K。
影响欧式看跌期权价格的因素
除了标的资产价格、行权价和到期时间外，波动率和无风险利率也会影响欧式看跌期权的价格。
- 标的资产价格 (S): 标的资产价格越高，看跌期权的价格越低。因为标的资产价格越高，期权到期时行权的概率越低。
- 行权价 (K): 行权价越高，看跌期权的价格越高。因为行权价越高，期权到期时行权的收益越大。
- 到期时间 (T): 到期时间越长，看跌期权的价格越高。因为到期时间越长，标的资产价格波动的可能性越大，期权到期时行权的概率也越大。
- 波动率 (σ): 波动率越高，看跌期权的价格越高。因为波动率越高，标的资产价格波动的幅度越大，期权到期时行权的概率也越大。
- 无风险利率 (r): 无风险利率越高，看跌期权的价格越低。这是因为无风险利率越高，行权价的现值越低，期权的价值也越低。
利用上下限进行套利
如果市场上的看跌期权价格突破了上下限，就存在套利机会。例如，如果看跌期权的价格高于K，投资者可以卖空看跌期权，并立即获得高于K的收益。投资者可以持有标的资产，并等待到期日。无论到期日标的资产价格如何，投资者都可以获得收益，这是一种无风险套利。
同样，如果看跌期权的价格低于max(0, Ke^(-rT) - S)，投资者可以买入看跌期权，并以无风险利率借入Ke^(-rT)。在到期日，如果S_T > K，投资者放弃行权，偿还借款，并获得收益。如果S_T ≤ K，投资者行权，以K的价格出售标的资产，偿还借款，并获得收益。这同样是一种无风险套利。
理解欧式看跌期权的价格上下限对于期权定价、套利策略以及风险管理至关重要。欧式看跌期权价格的下限是max(0, Ke^(-rT) - S)，上限是K。投资者可以利用这些上下限来判断市场价格是否合理，并识别潜在的套利机会。标的资产价格、行权价、到期时间、波动率和无风险利率都会影响欧式看跌期权的价格。掌握这些因素对于进行有效的期权交易和风险管理至关重要。
