看跌期权和看涨期权的平价公式推导(看涨看跌期权平价关系公式推导)

看涨看跌期权平价关系（Put-Call Parity）是期权定价理论中一个基石概念。它描述了欧式看涨期权、欧式看跌期权、标的资产以及无风险利率之间的关系。理解并掌握这一关系对于期权交易员、风险管理者以及金融分析师至关重要。通过该公式，我们可以利用不同期权组合进行套利，也可以在期权定价模型中验证其合理性。将深入探讨看涨看跌期权平价关系，并详细推导其公式。

看涨看跌期权平价关系概述

看涨看跌期权平价关系，简而言之，是指在特定条件下，欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格存在一种固定的关系。这种关系基于无套利原则，也就是说，如果市场价格偏离了平价关系，那么就存在无风险套利的机会。该关系适用于具有相同到期日和相同执行价格的欧式看涨期权和看跌期权。需要注意的是，美式期权由于其提前行权的特性，并不完全符合看涨看跌期权平价关系，但可以作为近似参考。

具体来说，看涨看跌期权平价关系表明，持有看涨期权并卖空看跌期权，再加上以无风险利率借入一定金额的现金，其收益等同于直接持有标的资产。反之亦然。这种等价关系为我们提供了一种理解期权定价的全新视角，并为期权策略的构建提供了理论基础。

构建等效投资组合

为了理解看涨看跌期权平价关系，我们可以构建两个等效的投资组合。这两个投资组合在到期时的收益完全相同，在没有套利机会的情况下，它们的初始成本也必须相同。

投资组合 A：
买入一份欧式看涨期权 (C)，执行价格为 K，到期日为 T。
卖出一份欧式看跌期权 (P)，执行价格为 K，到期日为 T。
投资组合 B：
买入一份标的资产 (S)。
以无风险利率 r 借入 K e^(-rT) 的现金，其中 e 是自然常数，T 是到期时间。

这两个投资组合的关键在于，它们在到期日的收益完全相同。我们将详细分析到期日的收益情况。

到期日收益分析

让我们分析一下当到期日 T 时，标的资产价格 (S_T) 大于执行价格 (K) 和小于执行价格 (K) 两种情况下的收益情况。

情况 1：S_T > K

• 投资组合 A： 看涨期权被执行，收益为 S_T - K；看跌期权失效，收益为 0。总收益为 S_T - K。
• 投资组合 B： 持有标的资产，收益为 S_T；偿还贷款，支出为 K。总收益为 S_T - K。

情况 2：S_T < K

• 投资组合 A： 看涨期权失效，收益为 0；看跌期权被执行，需要支付 K - S_T。总收益为 -(K - S_T) = S_T - K。
• 投资组合 B： 持有标的资产，收益为 S_T；偿还贷款，支出为 K。总收益为 S_T - K。

可以看到，无论到期日标的资产价格如何，投资组合 A 和投资组合 B 的收益始终相同，都是 S_T - K。这意味着这两个投资组合是等效的。

看涨看跌期权平价公式推导

由于投资组合 A 和投资组合 B 在到期日的收益完全相同，因此它们的初始成本也必须相同，否则就会存在套利机会。我们可以得出以下等式：

C - P = S - K e^(-rT)

其中：

• C：欧式看涨期权的价格
• P：欧式看跌期权的价格
• S：标的资产的当前价格
• K：期权的执行价格
• r：无风险利率
• T：期权的到期时间

这个公式就是看涨看跌期权平价关系公式。我们可以通过简单的代数变换，得到不同的形式，例如：

C = P + S - K e^(-rT)

P = C - S + K e^(-rT)

公式的应用与意义

看涨看跌期权平价关系公式在期权交易和风险管理中具有广泛的应用。

• 套利机会识别： 如果市场价格偏离了平价关系，交易员可以通过构建相应的投资组合进行套利，从而获得无风险利润。
• 期权定价模型验证： 期权定价模型，例如 Black-Scholes 模型，必须满足看涨看跌期权平价关系，否则模型就存在缺陷。
• 期权策略构建： 交易员可以利用平价关系，将不同的期权组合进行转换，从而构建更复杂的期权策略。例如，将看涨期权转换为看跌期权，或者反之。
• 隐含波动率计算： 通过平价关系，可以利用已知变量（例如，看涨期权价格、标的资产价格、无风险利率等）来推导出隐含波动率。

局限性与注意事项

虽然看涨看跌期权平价关系是一个强大的工具，但它也有一些局限性需要注意。

• 仅适用于欧式期权： 由于美式期权具有提前行权的特性，因此看涨看跌期权平价关系并不完全适用于美式期权。
• 假设无风险利率恒定： 该公式假设在期权存续期内，无风险利率保持不变。
• 忽略交易成本： 该公式没有考虑交易成本，例如交易手续费和买卖价差。在实际交易中，交易成本会影响套利机会的盈利空间。
• 股息的影响： 如果标的资产在期权存续期内支付股息，则需要对公式进行调整，将股息的影响考虑进去。

总而言之，看涨看跌期权平价关系是期权定价理论中的一个重要概念，它为我们理解期权价格之间的关系提供了一个框架。虽然存在一些局限性，但在实际应用中，它仍然是一个非常有用的工具。